כל מה שרצית לדעת על אבולוט:
בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור γ : [ 0 , L ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}} בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.
נוסחת האבולוט היא: E → ( s ) = γ → ( s ) + R ( s ) n → ( s ) = γ → ( s ) + 1 k ( s ) n → ( s ) {\displaystyle {\vec {E}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+R(s){\vec {n}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+{\frac {1}{k(s)}}{\vec {n}}(s)} כאשרk היא העקמומיות של העקומה γ {\displaystyle \gamma } (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך   d v → d s = v → ′ ( s ) = k ( s ) n → ( s ) {\displaystyle \ {\frac {d{\vec {v}}}{ds}}={\vec {v}}'(s)=k(s){\vec {n}}(s)} , או בנוסחה מפורשת   k ( s ) = ⟨ γ → ″ ( s ) , n → ( s ) ⟩ {\displaystyle \ k(s)=\langle {\vec {\gamma }}"(s),{\vec {n}}(s)\rangle } )   R ( s ) = 1 k ( s ) {\displaystyle \ R(s)={\frac {1}{k(s)}}} הוא רדיוס העקמומיות n → ( s ) {\displaystyle {\vec {n}}(s)} הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה v → ( s ) = γ → ′ ( s ) {\displaystyle {\vec {v}}(s)={\vec {\gamma }}'(s)} ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.
אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה   ( τ , s ) ⟼ F → ( τ , s ) = γ → ( s ) + τ n → ( s ) {\displaystyle \ (\tau ,s)\longmapsto {\vec {F}}(\tau ,s)={\vec {\gamma }}(s)+\tau {\vec {n}}(s)} .
במקום זה, המתקבל עבור   τ = 1 / k ( s ) {\displaystyle \ \tau =1/k(s)} , הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן   ( τ , s ) {\displaystyle \ (\tau ,s)} לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב.
מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.
[דרושה הבהרה]משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר:   k ( s ) , k ′ ( s ) ≠ 0 {\displaystyle \ k(s),k'(s)\neq 0} ) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:   ∫ s 1 s 2 | E ′ ( s ) | d s = ∫ s 1 s 2 | ( d d s R ′ ( s ) ) n → ( s ) | d s = ∫ s 1 s 2 | R ′ ( s ) | d s = | ∫ s 1 s 2 R ′ ( s ) d s | = | R ( s 2 ) − R ( s 1 ) | {\displaystyle \ \int _{s_{1}}^{s_{2}}|E'(s)|ds=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|\left({\frac {d}{ds}}R'(s)\right){\vec {n}}(s)\right|ds=\int _{s_{1}}^{s_{2}}|R'(s)|ds=\left|\int _{s_{1}}^{s_{2}}R'(s)ds\right|=\left|R(s_{2})-R(s_{1})\right|} כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-   E → ′ ( s ) = γ ′ ( s ) + R ′ ( s ) n → ( s ) + R ( s ) n → ′ ( s ) = v → ( s ) + R ′ ( s ) n → ( s ) − R ( s ) k ( s ) v → ( s ) = R ′ ( s ) n → ( s ) {\displaystyle \ {\vec {E}}'(s)=\gamma '(s)+R'(s){\vec {n}}(s)+R(s){\vec {n}}'(s)={\vec {v}}(s)+R'(s){\vec {n}}(s)-R(s)k(s){\vec {v}}(s)=R'(s){\vec {n}}(s)} לפי משוואות פרנה.
הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאבולוט:
•גאומטריה דיפרנציאלית
•עקומות