כל מה שרצית לדעת על אורתוגונליות:
אוֹרְתּוֹגוֹנָלִיּוֹּת היא הכללה של תכונת הניצבות המוכרת מגאומטריה.
בגאומטריה, שני ישרים במישור האוקלידי ניצבים זה לזה אם הזווית הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות).
מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ההכללות של המישור האוקלידי – המרחבים הווקטוריים שאבריהם אינם בהכרח ישרים אלא וקטורים, שהם מושג כללי יותר.
על מנת להכליל את מושג הניצבות יש ראשית להכליל את מושג הזווית בין שני וקטורים.
לשם כך משתמשים בפונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה גודל שניתן לחשוב עליו כעל מכפלת אורכי הווקטורים זה בזה ובקוסינוס הזווית ביניהם.
פונקציה זו נקראת "מכפלה פנימית" (מקרה ספציפי שלה זה מכפלה סקלרית).
ישנן מכפלות פנימיות רבות שניתן להגדיר על מרחב וקטורי, ולכן גם מושגי האורך והזווית של וקטורים יכולים לקבל משמעויות רבות, אבל יש כמה תכונות בסיסיות שאנו מצפים שיתקיימו תמיד, ואלו התכונות שמאפיינות את המכפלה הפנימית.
מכיוון שקוסינוס של זווית בין שני ישרים ניצבים שווה ל-0 מתבקש להגדיר שני וקטורים כאורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם שווה ל-0.
לווקטורים אורתוגונליים חשיבות רבה כאשר חוקרים מרחבים וקטוריים.
לבסיס של מרחב וקטורי יש מספר תכונות נוחות כאשר הוא אורתונורמלי (כל אבריו אורתוגונליים זה לזה ובעלי אורך 1).
יתר על כן, מתברר שבהינתן בסיס כלשהו למרחב וקטורי ניתן לקבל ממנו בסיס חדש שכל אבריו אורתוגונליים זה לזה, כך שתמיד ניתן למצוא בסיס נוח שכזה.
דבר זה נעשה על ידי תהליך גרם-שמידט.