כל מה שרצית לדעת על אינדקס מילר:
בקריסטלוגרפיה, אינדקס מילר הוא שיטת סימון המשמשת לתיאור מישורים וכיוונים בסריג של גביש.
הסימון קרוי על-שמו של המינרלוג ויליאם האלוס מילר.
כדי לתאר באופן חד-משמעי סריג תלת-ממדי, יש לקבוע את נקודת הראשית, ואז לבחור לסריג בסיס.
הבסיס כולל שלוש נקודות במרחב, והחצים המוליכים מן הראשית לנקודות אלה הם וקטורי השריג, v 1 , v 2 , v 3 {\displaystyle \ v_{1},v_{2},v_{3}} .
כל נקודה של הסריג אפשר להציג, באופן יחיד, כצירוף ליניארי x = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 {\displaystyle \ x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}} , כאשר המקדמים a 1 , a 2 , a 3 {\displaystyle \ a_{1},a_{2},a_{3}} הם מספרים שלמים.
הסימון [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle \ [a_{1}a_{2}a_{3}]} מתייחס לישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה x לעיל, וכולל, לפיכך, גם את נקודות הסריג 2 x , 3 x , … {\displaystyle \ 2x,3x,\dots } , וכן את − x , − 2 x , − 3 x , … {\displaystyle \ -x,-2x,-3x,\dots } .
כדי לאתר את הישר [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle \ [a_{1}a_{2}a_{3}]} על הסריג, יש לדעת מהם וקטורי הבסיס שנבחרו.
בדרך כלל בוחרים בסיס פרימיטיבי; עם זאת, כאשר מדובר בסריגים קובייתיים, מקובל לבחור בסיס אורתוגונלי, שבו הווקטורים מאונכים זה לזה, למרות שביחס לבסיס כזה יש נקודות בעלות מקדמים הרחוקים כדי 1/2 ממספר שלם.
ניתן להבטיח שהמקדמים באינדקס מילר יהיו תמיד שלמים וזרים הדדית, משום שהישר תלוי רק ביחסים שבין המקדמים; כך גם עבור הסימונים הנוספים, המתוארים להלן.
הביטוי ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle \ (a_{1}a_{2}a_{3})} (סוגריים עגולים, במקום מרובעים) מתאר מישור.
באופן פורמלי, זהו מישור האפסים של הפונקציונל x ∗ = a 1 v 1 ∗ + a 2 v 2 ∗ + a 3 v 3 ∗ {\displaystyle \ x^{*}=a_{1}v_{1}^{*}+a_{2}v_{2}^{*}+a_{3}v_{3}^{*}} , כאשר v i ∗ {\displaystyle \ v_{i}^{*}} הם הפונקציונלים הבסיסיים, המוגדרים על ידי v i ∗ ( v j ) = δ i j {\displaystyle \ v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}} , כאשר δ {\displaystyle \ \delta } היא הדלתא של קרונקר.
במכפלה הפנימית של הסריג, זהו המישור המאונך לווקטור x; הוא כולל את כל הנקודות n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 {\displaystyle \ n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}} שמקדמיהן מקיימים את המשוואה a 1 n 1 + a 2 n 2 + a 3 n 3 {\displaystyle \ a_{1}n_{1}+a_{2}n_{2}+a_{3}n_{3}} .
באינדקס מילר מקובל לכתוב a ¯ {\displaystyle \ {\bar {a}}} במקום − a {\displaystyle \ -a} , כאשר a מספר חיובי.
כך למשל, ( 20 5 ¯ ) {\displaystyle \ (20{\bar {5}})} מייצג את המישור הנפרש על ידי הווקטורים 5 v 1 + 2 v 3 {\displaystyle \ 5v_{1}+2v_{3}} ו- v 2 {\displaystyle \ v_{2}} .
בנוסף לסימון שהוצג לעיל, מקובל להשתמש בסימון a 1 a 2 a 3 {\displaystyle \ {a_{1}a_{2}a_{3}}} כדי לייצג את כל המישורים המתקבלים מ- ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle \ (a_{1}a_{2}a_{3})} על ידי פעולת חבורת הסימטריות של הסריג; בדומה, ⟨ a 1 a 2 a 3 ⟩ {\displaystyle \ \langle a_{1}a_{2}a_{3}\rangle } מתייחס לכל הישרים המתקבלים על ידי סימטריות מ- [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle \ [a_{1}a_{2}a_{3}]} .