כל מה שרצית לדעת על אי-שוויון צ'רנוף:
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי.
המחשה של "זנב" פונקציית ההסתברות (בלבן).
חסם צ'רנוף קובע כי ככל שמתרחקים מהתוחלת, הזנב דועך אקספוננציאלית.
בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'רנוף או חסם צ'רנוף הוא אי-שוויון המתאר את הקשר בין סכום של משתני ברנולי לבין התוחלת של סכום זה.
אי-שוויון צ'רנוף מראה דעיכה מעריכית של ההסתברות לכך שסכום המשתנים יהיה רחוק מהתוחלת הצפויה, כפונקציה של המרחק הנמדד בסטיות תקן.
במילים אחרות, ההסתברות שהסכום יהיה רחוק t סטיות תקן מהתוחלת קטנה כפונקציה מעריכית ב-t.
באופן פורמלי,יהיו X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} מאורעות בלתי תלויים אשר מתרחשים בהסתברות   p {\displaystyle \ p} כך ש p ≥ 1 2 {\displaystyle p\geq {\frac {1}{2}}} (כלומר, X i ∼ Bernoulli ( p ) {\displaystyle \,X_{i}\sim {\mbox{Bernoulli}}(p)} ) אז מתקיים: Pr [ ∑ i = 1 n X i − n p > t n p ( 1 − p ) ] < e − t 2 / 2 {\displaystyle \Pr \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}-np>t{\sqrt {np(1-p)}}\right]<e^{-t^{2}/2}} מכיוון שסכום המאורעות מפולג בינומית, X 1 + ⋯ + X n ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}\sim Bin(n,p)} , תוחלת סכום המאורעות היא E [ X 1 + ⋯ + X n ] = n p {\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=np} , וסטיית התקן היא var 1 / 2 ⁡ ( X 1 + ⋯ + X n ) = n p ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {var} ^{1/2}(X_{1}+\cdots +X_{n})={\sqrt {np(1-p)}}} .
מכיוון שהחסם המתקבל מעריכי, אי שוויון צ'רנוף חזק יותר מאשר אי-שוויון צ'בישב, ואי-שוויון מרקוב, בהם דעיכת הזנב פולינומית.
אי השוויון קרוי על שם המתמטיקאי הרמן צ'רנוף (Herman Chernoff), שהוכיח את אי-השוויון בשנת 1952.
כיום משמש השם "אי שוויון צ'רנוף" לתיאור משפחה של אי שיוויונות המבוססים על אי שוויון זה או על אי-שיוויונות דומים לו כגוןאי שוויון הופדינג ואי שוויון ברנשטיין (שניתן לראותם כמקרה פרטי של אי-שוויון זה).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאי-שוויון צ'רנוף:
•אי-שוויונות בתורת ההסתברות