כל מה שרצית לדעת על אלגברה ספרבילית:
בתורת החוגים, אלגברה ספרבילית היא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי, הפועלת על עצמה באופן מסוים (שיוגדר בגוף הערך).
זוהי הכללה של מושג הספרביליות של הרחבת שדות: הרחבת השדות K/F היא ספרבילית, אם ורק אם K אלגברה ספרבילית מעל F.
יהי C חוג קומוטטיבי, ותהי R אלגברה מעל C (כלומר, חוג המכיל את C במרכז שלו).
מגדירים   R e = R ⊗ C R op {\displaystyle \ R^{e}=R\otimes _{C}R^{\operatorname {op} }} , המכפלה הטנזורית מעל C, כאשר R op {\displaystyle \,R^{\operatorname {op} }} היא האלגברה המנוגדת.
מודולים מעל R e {\displaystyle \,R^{e}} אינם אלא בי-מודולים מעל R שבהם שתי הדרכים לצמצם למודול מעל C מתלכדות.
בפרט, האלגברה   R e {\displaystyle \ R^{e}} פועלת על R {\displaystyle R} על ידי ( a ⊗ b ) x = a x b {\displaystyle \,(a\otimes b)x=axb} , באופן ההופך את R {\displaystyle R} למודול מעל R e {\displaystyle \,R^{e}} .
האלגברה R היא ספרבילית, אם R הוא מודול פרויקטיבי מעל R e {\displaystyle \,R^{e}} .
להלן כמה הגדרות שקולות לספרביליות של R מעל C:הסדרה המדויקת 0 ⟶ J ⟶ A e ⟶ μ A ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow J\longrightarrow A^{e}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0} מתפצלת, כאשר μ ( a ⊗ b op ) = a b {\displaystyle \mu (a\otimes b^{\operatorname {op} })=ab} .
יש איבר   e ∈ A e {\displaystyle \ e\in A^{e}} המקיים   μ ( e ) = 1 {\displaystyle \ \mu (e)=1} ו- J e = 0 {\displaystyle Je=0} , כאשר J = Ker ⁡ ( μ ) {\displaystyle J=\operatorname {Ker} (\mu )} (איבר זה הוא בהכרח אידמפוטנט).
הפונקטור   M ↦ M R {\displaystyle \ M\mapsto M^{R}} , מהקטגוריה   R e − mod {\displaystyle \ R^{e}-\operatorname {mod} } אל   C − mod {\displaystyle \ C-\operatorname {mod} } , הוא מדויק מימין (כאן   M R = { x ∈ M | ∀ a ∈ R : a x = x a } {\displaystyle \ M^{R}=\{x\in M|\forall a\in R:ax=xa\}} ).
לכל בי-מודול M מעל R, כל נגזרת פורמלית של R (מעל C) עם ערכים ב-M (היינו, פונקציה אדיטיבית   d : R → M {\displaystyle \ d:R\rightarrow M} , הומוגנית מעל C, המקיימת   d ( a b ) = a d ( b ) + d ( a ) b {\displaystyle \ d(ab)=ad(b)+d(a)b} ) היא פנימית: קיים   x ∈ M {\displaystyle \ x\in M} כך ש-   d ( a ) = a x − x a {\displaystyle \ d(a)=ax-xa} .
לדוגמה, אלגברת המטריצות   M n ⁡ ( C ) {\displaystyle \ \operatorname {M} _{n}(C)} ספרבילית מעל C (ובפרט C ספרבילית מעל עצמה).
החוג   C ⊕ C x {\displaystyle \ C\oplus Cx} עם כפל המוגדר לפי   x 2 = θ ∈ C {\displaystyle \ x^{2}=\theta \in C} הוא ספרבילי מעל C אם ורק אם   2 , θ {\displaystyle \ 2,\theta } הפיכים ב-C.
אם אלגברה R היא ספרבילית מעל החוג C ופרויקטיבית כמודול מעליו, אז R נוצרת סופית כמודול.
את הקשר בין אידיאלים של אלגברה ספרבילית לאידיאלים מעל המרכז שלה מספקת העובדה השימושית הבאה: לכל אידיאל I של המרכז   Z ( R ) {\displaystyle \ Z(R)} , מתקיים   I = Z ( R ) ∩ I R {\displaystyle \ I=Z(R)\cap IR} .

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאלגברה ספרבילית:
•תורת החוגים