כל מה שרצית לדעת על אקסיומת ההיקפיות:
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההיקפיות היא אקסיומה במערכת ZF.
האקסיומה גורסת כי אם לכל איבר x, הוא שייך לקבוצה הראשונה אם ורק אם הוא שייך לקבוצה השנייה, אז שתי הקבוצות שוות.
משמעות האקסיומה היא שיחס השייכות מגדיר חד משמעי את הקבוצה.
בפרט, האקסיומה שוללת את קיומם של האטומים – שהם אובייקטים שונים זה מזה חסרי איברים, כיוון שהיא מבטיחה שכל אובייקט כזה יהיה שווה לקבוצה הריקה.
באופן פורמלי: ∀ A ∀ B ( ∀ x ( x ∈ A ↔ x ∈ B ) ⟹ A = B ) {\displaystyle \forall A\forall B(\forall x\,(x\in A\leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow A=B)} אקסיומות הנובעות למושג השוויון בתחשיב הפרדיקטים מבטיחות את הכיוון השני – אם A=B אז יש להם את אותם איברים.
אקסיומת ההיקפיות יכולה להיחשב גם כהגדרה של מושג השוויון בין זוג קבוצות.
במובן הזה, ניתן לעבוד בשפה שאיננה מכילה את סימן השוויון ולהגדיר אותו בהתאם לאקסיומה.
במקרה הזה יש לשנות את האקסיומה: אם לכל x מתקיים x שייך ל-A אם ורק אם x שייך ל-B, אז לכל C יתקיים ש-A שייך ל-C אם ורק אם B שייך ל-C.
בכל מודל של האקסיומה הזו אמנם ייתכן שיהיו שני איברים שונים בעלי אותם איברים, אבל ההתנהגות שלהם תהיה זהה לחלוטין (הם יקיימו את אותן נוסחאות).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאקסיומת ההיקפיות:
•אקסיומות של תורת הקבוצות