כל מה שרצית לדעת על המשוואה הפונקציונלית של קושי:
המשוואה הפונקציונלית של קושי היא המשוואה הפונקציונלית

.

זוהי אחת המשוואות הפונקציונליות הפשוטות ביותר להצגה, אך פתרונותיה הלא-רציפים מדגימים פתולוגיות המשותפות למשוואות פונקציונליות רבות אחרות.
כמו בכל משוואה פונקציונלית אחרת, הבעיה היא למצוא את הפונקציות המקיימות את התנאי שהוזכר לעיל.
מעל המספרים הרציונליים, כלומר, עבור פונקציות , ניתן להראות בנקל שכל פתרון הוא לינארי, מהצורה , כאשר הוא קבוע שרירותי.
משפחה זו של פתרונות היא נכונה בבירור גם מעל המספרים הממשיים, אבל שם קיימים גם פתרונות אחרים.
הטלת מגבלות נוספות על מביאה לפסילת פתרונות אלה, כך שנותרים רק הפתרונות הלינאריים.
למשל:

רציפה בכל מקום.

רציפה בנקודה אחת.
תנאי זה גורר רציפות בכל נקודה.
אכן, לכל מספר ממשי נתון, קיימת סדרה של מספרים רציונליים המתכנסת אליו.
באמצעות הגדרת הרציפות של היינה, ניתן להשתמש בכך על מנת להראות כי כל פתרון למשוואה מעל הממשיים הוא מהצורה דלעיל.
מספיק לדרוש כי הפונקציה תהיה רציפה בנקודה אחת, שכן אם רציפה בנקודה ונדרש להראות את רציפותה בנקודה , משתמשים במשוואה הפונקציונלית ומקבלים כאשר .

קיים קטע שבו מונוטונית.

קיים קטע שבו חסומה.

ב-1905 הוכיח גיאורג המל, תוך שימוש בבסיס המל, כי (בהנחת אקסיומת הבחירה) ללא הנחות נוספות על מעבר למשוואה היסודית, קיימות אינסוף פונקציות אחרות שמקיימות את המשוואה.
הבעיה החמישית ברשימת 23 הבעיות של הילברט היא הכללה של משוואה זו.
למעשה, אם מניחים את אקסיומת הבחירה, יש למשוואה פתרונות רציפים ו- פתרונות לא רציפים (ראו עוצמה (מתמטיקה) לפירוש של מושגים אלה).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות להמשוואה הפונקציונלית של קושי:
•פונקציות פתולוגיות
•משוואות