כל מה שרצית לדעת על זהות קפלי:
בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} , כאשר c n = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) x σ ( 1 ) y 1 x σ ( 2 ) y 2 ⋯ x σ ( n ) y n {\displaystyle c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n}} הוא פולינום קפלי ב-2n משתנים.
כל אלגברה מממד קטן מ-n מקיימת את הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} .
התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} , כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-n משתנים.
הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} נובעת מן הזהות c n − 1 = 0 {\displaystyle c_{n-1}=0} , כך שהתנאי c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} הולך ונעשה חלש כאשר n גדל.
באלגברה עם יחידה c 1 ≠ 0 {\displaystyle c_{1}\neq 0} , ו- c 2 = 0 {\displaystyle c_{2}=0} אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית.
פולינום f נקרא n-מתחלף אם לכל 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} מתקיים f ( .
.
.
, x i , .
.
.
, x j , .
.
.
) = − f ( .
.
.
, x j , .
.
.
, x i , .
.
.
) {\displaystyle f(.
.
.
,x_{i},.
.
.
,x_{j},.
.
.
)=-f(.
.
.
,x_{j},.
.
.
,x_{i},.
.
.
)} .
פולינום קפלי ה-n-י הוא n-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-n-מתחלף הכללי ביותר: c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} היא זהות של האלגברה A, אם ורק אם כל פולינום n-מתחלף הוא זהות של A.
לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית s n = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) x σ ( 1 ) ⋯ x σ ( n ) {\displaystyle s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}} אפשר להסיק מהזהות c n {\displaystyle c_{n}} על ידי ההצבה y i ↦ 1 {\displaystyle y_{i}\mapsto 1} (והיא אכן n-מתחלפת).
אלגברת המטריצות M n ( F ) {\displaystyle M_{n}(F)} (מעל שדה F) מקיימת את זהות קפלי c n 2 + 1 {\displaystyle c_{n^{2}+1}} , אבל לא את הזהות c n 2 {\displaystyle c_{n^{2}}} .
האלגברה M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(R)} מקיימת את c n 2 + 1 {\displaystyle c_{n^{2}+1}} אם ורק אם R קומוטטיבי.
אם A אלגברה מעל שדה F ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים   χ n ( A ) = V n / ( V n ∩ id ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A))} (כאשר   V n {\displaystyle \ V_{n}} הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים   x 1 , … , x n {\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}} ), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות   S n {\displaystyle \ S_{n}} על ידי פעולת ההצבה.
תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה A מקיימת את זהות קפלי c m {\displaystyle c_{m}} אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של   χ n ( A ) {\displaystyle \ \chi _{n}(A)} היא בעלת פחות מ-m שורות.
קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי.
הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו.
אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי.
במאפיין 0, לכל n קיימת זהות קפלי c m {\displaystyle c_{m}} הנובעת מן הזהות הסטנדרטית s n {\displaystyle s_{n}} .
אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי.
עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לזהות קפלי:
•תורת החוגים