כל מה שרצית לדעת על חבורה חופשית:
חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה אינה מקיימת אף יחס.
בחבורה כזו, כל איבר הוא מילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים עבור , ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה או .
הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה.
את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- .
ראו גם מונואיד חופשי.
בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מילה אחת ויחידה.
בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעיית המילה ובעיית הצמידות.
אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות ו- איזומורפיות זו לזו.
בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- .
מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה.
את הדרגה של חבורה חופשית מסמנים ב- .
כך למשל .
הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-1882, שביקש לתת תיאור אלגברי מדויק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב.
הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית.
המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט נילסן-שרייר, הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית.
אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מאינדקס סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם F חופשית ו- תת-חבורה מאינדקס סופי, אז .
אם F חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם , תת-החבורה הקבועה היא נוצרת סופית‏.
אם אוטומורפיזם, הדרגה של אינה עולה על זו של F‏.
חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות.
בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה ופונקציה קיים הומומורפיזם יחיד המקיים , כאשר הוא השיכון של X ב- F.
בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם , ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית.
אם כאשר חופשית, אז חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G.
המנה מסומנת ב- ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ-representation).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לחבורה חופשית:
•תורת החבורות
•סדרות של מבנים אלגבריים