כל מה שרצית לדעת על חבורת אוילר:
חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו n) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל-n (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו n.
לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה – עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם – כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".
מקובל לסמן את החבורה ב-, או (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג ).
בחבורת אוילר של n יש אברים, כאשר היא פונקציית אוילר.
מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.
לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים .
קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם a ו- b שני מספרים הזרים ל- n, אז גם המכפלה ab זרה ל- n.
במלים אחרות, הקבוצה סגורה לכפל.
בנוסף לזה, אם a זר ל- n אז אלגוריתם אוקלידס המוכלל מאפשר למצוא מספרים שלמים כך ש- , ובחישוב מודולו n מתקבל ש- u הוא ההופכי של a (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של a); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי – ולכן היא חבורה.
חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו n, ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA.
בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר n שווה ל- 1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לחבורת אוילר:
•תורת המספרים
•תורת החבורות
•סדרות של מבנים אלגבריים
•לאונרד אוילר