כל מה שרצית לדעת על חפיפת מטריצות:
חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא: תהיינה מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה , כך ש: , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של P.
ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית בילינארית בבסיסים שונים הן חופפות.
מכך נובע גם כי מטריצה מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה .
הוכחה:
נניח כי חופפת ל-.
מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה כך ש-.
לכן .
כלומר הרמיטית.
נותר להוכיח כי מוגדרת חיובית.
יהא .
אזי .
הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-, לכן .
שוויון מתקבל אמ"מ , וכיוון ש- הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ .
כלומר מוגדרת חיובית.
נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית.
אזי A הרמיטית ומוגדרת חיובית.
תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא (הדלתא של קרונקר).
אזי שכן .
מ.
ש.
ל.

נושאים באלגברה לינארית

מושגי יסוד
שדה • מרחב וקטורי • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • העתקה לינארית • מטריצה

וקטורים
תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות

מטריצות
מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן

העתקות
העתקה לינארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית

מרחבי מכפלה פנימית
מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית

תבניות
תבנית בילינארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-לינארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה.
אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לחפיפת מטריצות:
•קצרמר מתמטיקה
•מטריצות
•יחסי שקילות