כל מה שרצית לדעת על חשבון וריאציות:
חשבון ווריאציות הוא תחום במתמטיקה אשר עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציונלים, בניגוד לחשבון דיפרנציאלי רגיל אשר עוסק בפונקציות.
פונקציונל הוא בדרך כלל מיפוי מסט של פונקציות למרחב המספרים הממשיים.
פונקציונלים לרוב מבוטאים כאינטגרלים מסוימים של פונקציות בלתי ידועות ונגזרותיהן.
המטרה היא מציאת פונקציות אשר יביאו את הפונקציונל למקסימום או למינימום.
השיטה פותחה בשלהי המאה ה־17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויאקוב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים.
הדוגמה הפשוטה ביותר לבעיה כזו היא מציאת העקום בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות, אשר נקרא גאודיזה.
במרחב אוקלידי הפתרון הוא קו ישר, אבל אם יש מגבלות על הפתרון, למשל שהקו יימצא על משטח כלשהו, הפתרון פחות ברור מאליו.
בעיה קשורה היא עיקרון פרמה: האור עובר במסלולים בעלי מסלול אופטי מינימלי בין שתי נקודות (המסלול האופטי תלוי בתווך).
עיקרון קשור במכניקה הוא עיקרון הפעולה המינימאלית.
בעיות חשובות רבות עוסקות בפונקציות בעלות משתנים מרובים.
פתרון בעיות עם תנאי שפה למשוואת לפלס מקיימות את עיקרון דיריכלה.
בעיית פלטיאו דורשת מציאת משטח בעל שטח מינימלי אשר עובר במתאר נתון במרחב.
הפתרון לבעיה זו קשור לאופן היווצרות בועות סבון בעת טבילת מסגרת ברזל במי סבון.
למרות שניסויים כאלו הם קלים לביצוע התיאור המתמטי שלהם לעתים סבוך: ישנם כמה פתרונות אפשריים ויכולה להיות להם טופולוגיה לא טריוויאלית.