כל מה שרצית לדעת על טור טיילור:
טור טיילור הוא טור חזקות המקרב פונקציה, באופן מקומי או בכל תחום הגדרתה.
המקדמים של אברי הטור מחושבים על ידי כל הנגזרות של הפונקציה (מכל סדר שהוא) בנקודה מסוימת שנקראת נקודת הפיתוח של הטור.
תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור עבור פונקציה בנקודת פיתוח מסוימת הוא שהפונקציה תהיה גזירה מכל סדר (אינסוף פעמים) באותה הנקודה.
אם טור הטיילור של הפונקציה שווה לה בסביבה מסוימת (כלומר, ניתן לתאר את הפונקציה בעזרת טור טיילור שלה) יהיה ניתן להסתפק במספר סופי של איברים מהטור (כלומר בפולינום) כדי לקבל קירוב כרצוננו של הפונקציה (לפחות באותה הסביבה של נקודת הפיתוח).
לכן, במקרה כזה אפשר לקרב פונקציה מסובכת על ידי שימוש בפונקציה פשוטה.
היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פעולות חיבור ופעולות כפל בין מספרים ממשיים, פעולות שניתנות לחישוב מדויק, שכן אנו משתמשים בפולינומים שהם הפונקציות הפשוטות ביותר שקיימות למטרה כזו.
נקודה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן.
שאיפתם הייתה לנסות ולקרב פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס, ועל ידי כך לחשב את ערך הפונקציות בקלות בכל נקודה מבוקשת, לגזור אותן בקלות, וכדומה.
כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח.
את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר.
הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור.
טור טיילור המפותח בנקודה נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).
טור הטיילור (המפותח בנקודה מסוימת ) מתכנס לפונקציה (כלומר, שווה לה) בסביבה מסוימת של אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל.
במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה .
גישה נוספת לחשוב על טור טיילור היא כעל הכללה של הקירוב הלינארי (קירוב מסדר ראשון) שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.