כל מה שרצית לדעת על יחס כפול:
בהינתן רביעיית נקודות ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: ( a − c ) ( b − d ) ( a − d ) ( b − c ) {\displaystyle {\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}} .
שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ( a − c ) ( a − d ) {\displaystyle {\frac {(a-c)}{(a-d)}}} ובין היחס ( b − c ) ( b − d ) {\displaystyle {\frac {(b-c)}{(b-d)}}} .
היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.
בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן.
למשל, אם נחליף את ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} ב- ( b , a , d , c ) {\displaystyle (b,a,d,c)} נקבל את הביטוי ( b − d ) ( a − c ) ( b − c ) ( a − d ) {\displaystyle {\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}} , השווה ליחס הכפול המקורי.
ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול λ {\displaystyle \lambda } , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:תמורהתיאור קצרערכו של היחס הכפול ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})} תמורת הזהות λ {\displaystyle \lambda } ( z 1 , z 2 ; z 4 , z 3 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})} z 3 ↔ z 4 {\displaystyle z_{3}\leftrightarrow z_{4}} 1 λ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}} ( z 1 , z 3 ; z 2 , z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})} z 2 ↔ z 3 {\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{3}} 1 − λ {\displaystyle 1-\lambda } ( z 1 , z 3 ; z 4 , z 2 ) {\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})} z 2 ← z 4 ← z 3 ← z 2 {\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}} 1 1 − λ {\displaystyle {\frac {1}{1-\lambda }}} ( z 1 , z 4 ; z 3 , z 2 ) {\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})} z 2 ↔ z 4 {\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{4}} λ λ − 1 {\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -1}}} ( z 1 , z 4 ; z 2 , z 3 ) {\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})} z 2 ← z 3 ← z 4 ← z 2 {\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}} λ − 1 λ {\displaystyle {\frac {\lambda -1}{\lambda }}}
נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות ליחס כפול:
•גאומטריה פרויקטיבית