כל מה שרצית לדעת על משוואות פרנה-סרה:
בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי γ : [ 0 , L ] → R 3 {\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}} בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה.
חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציות עקמומיות ופיתול רגולריות, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.
תהי γ → ∈ C 3 [ 0 , L ] {\displaystyle {\vec {\gamma }}\in C^{3}[0,L]} עקומה רגולרית (   | γ → ′ ( s ) | ≠ 0 {\displaystyle \ |{\vec {\gamma }}'(s)|\neq 0} ) וגזירה שלוש פעמים ברציפות בפרמטר הטבעי.
נגדיר וקטור משיק על ידי   v → ( s ) = γ ′ → ( s ) = d γ → / d s {\displaystyle \ {\vec {v}}(s)={\vec {\gamma '}}(s)=d{\vec {\gamma }}/ds} מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1.
כאן אין בחירה יחידה של וקטור נורמלי ולכן נגדיר את n → {\displaystyle {\vec {n}}} באופן הבא: n → ( s ) = γ ″ ( s ) | γ ″ ( s ) | {\displaystyle {\vec {n}}(s)={\frac {\gamma "(s)}{|\gamma "(s)|}}} נשים לב שגם הוא וקטור יחידה.
כאן, מגדירים את העקמומיות להיות   k ( s ) = | γ ″ ( s ) | {\displaystyle \ k(s)=|\gamma "(s)|} נשלים זוג וקטורים אלה לבסיס אורתונורמלי בעל בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, b → ( s ) {\displaystyle {\vec {b}}(s)} הניצב לווקטור המשיק ולווקטור הנורמל שמוגדר על ידי   b → ( s ) = v → ( s ) × n → ( s ) {\displaystyle \ {\vec {b}}(s)={\vec {v}}(s)\times {\vec {n}}(s)} כלומר, על ידי מכפלה וקטורית של הווקטורים הקודמים.
וקטור זה נקרא "בי-נורמל", וגם הוא וקטור יחידה.
משוואות פרנה טוענות ש- v ′ → ( s ) = d d s v → ( s ) = + k ( s ) n → ( s ) {\displaystyle {\vec {v'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {v}}(s)=+k(s){\vec {n}}(s)} n ′ → ( s ) = d d s n → ( s ) = − k ( s ) v → ( s ) + τ ( s ) b → ( s ) {\displaystyle {\vec {n'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {n}}(s)=-k(s){\vec {v}}(s)+\tau (s){\vec {b}}(s)} b ′ → ( s ) = d d s b → ( s ) = − τ ( s ) n → ( s ) {\displaystyle {\vec {b'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {b}}(s)=-\tau (s){\vec {n}}(s)} כאשר   k ( s ) {\displaystyle \ k(s)} היא העקמומיות ו-   τ ( s ) {\displaystyle \ \tau (s)} הוא הפיתול (גודל המודד כמה רחוקה העקומה מלהיות מישורית, עקומה עם פיתול אפס מוכלת כולה במישור דו-ממדי).
זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות ומסדר ראשון.
נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית: [ v ′ → n ′ → b ′ → ] = [ 0 + k ( s ) 0 − k ( s ) 0 + τ ( s ) 0 − τ ( s ) 0 ] [ v → n → b → ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\vec {v'}}\\{\vec {n'}}\\{\vec {b'}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}0&+k(s)&0\\-k(s)&0&+\tau (s)\\0&-\tau (s)&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\vec {v}}\\{\vec {n}}\\{\vec {b}}\end{array}}\right]} נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית.
עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשוואות פרנה-סרה:
•ויקיפדיה: השלמה – מדעי הטבע
•גאומטריה דיפרנציאלית
•משוואות דיפרנציאליות