כל מה שרצית לדעת על משפט האפסים של הילברט:
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (בגרמנית: Nullstellensatz – "משפט מקומות האפסים") הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידיאלים בשדות סגורים אלגברית.
הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.
נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K – K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,K[x_{1},\dots ,x_{n}]} .
היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות x = ( x 1 , … , x n ) ∈ K n {\displaystyle \,\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}} כך שלכל f ב-I מתקיים f ( x ) = 0 {\displaystyle \,f(\mathbf {x} )=0} .
משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל x ∈ V ( I ) {\displaystyle x\in V(I)} מתקיים p ( x ) = 0 {\displaystyle \,p(x)=0} (כלומר p מתאפס על היריעה (V(I) אז קיים מספר טבעי r כך ש p r ∈ I {\displaystyle p^{r}\in I} .
מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידיאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה V ( I ) {\displaystyle \,V(I)} אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI.
מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: בשדה סגור אלגברית, לא זו בלבד שלכל פולינום יש לפחות שורש אחד, אלא גם לכל קבוצת פולינומים שאינה יוצרת (כאידיאל) את החוג כולו יש לפחות אפס משותף אחד.
בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך: I ( V ( J ) ) = J {\displaystyle \,I(V(J))={\sqrt {J}}} לכל אידיאל J.
הסימון J {\displaystyle \,{\sqrt {J}}} הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J, ו-(I(Z הוא אידיאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה Z ⊂ K n {\displaystyle Z\subset K^{n}} .

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשפט האפסים של הילברט:
•משפטים בגאומטריה אלגברית