כל מה שרצית לדעת על משפט המספרים הראשוניים:
בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים.
לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- π ( x ) {\displaystyle \,\pi (x)} את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על x {\displaystyle \,x} (פונקציית המספרים הראשוניים).
משפט המספרים הראשוניים קובע ש-   π ( x ) ∼ x ln ⁡ x {\displaystyle \ \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}} (כאשר   ln ⁡ x {\displaystyle \ \ln x} הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על x הוא (בקירוב סביר)   x ln ⁡ x {\displaystyle \ {\frac {x}{\ln x}}} .
את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים.
הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי הדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19.
ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.
גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן.
לא קשה להוכיח שהיחס בין   π ( x ) {\displaystyle \ \pi (x)} ו-   x ln ⁡ x {\displaystyle \ {\frac {x}{\ln x}}} חסום בין   1 / 4 {\displaystyle \ 1/4} ל-   4 {\displaystyle \ 4} .
צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשפט המספרים הראשוניים:
•מספרים ראשוניים
•משפטים בתורת המספרים