כל מה שרצית לדעת על משפט טיכונוף:
בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה   ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \ \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי.
המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוף בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.
כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה.
אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוף).
משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.
מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוף מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה { X i } i ∈ I {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in I}} אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה.
הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה.
עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).
הוכחת משפט טיכונוףישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוף.
בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} יש תת-בסיס טבעי שהוא B = ∪ i ∈ I B i {\displaystyle B=\cup _{i\in I}B_{i}} כאשר B i = { ∏ j ≠ i X j × U i : U i ∈ τ i } {\displaystyle B_{i}=\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}:U_{i}\in \tau _{i}\}} .
לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ- B {\displaystyle B} .
בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל- U {\displaystyle {\mathcal {U}}} .
עבור i ∈ I {\displaystyle i\in I} מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה { ∏ j ≠ i X j × U i } {\displaystyle \{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\}} שמשתתפות בכיסוי הנתון.
אם ה- U i {\displaystyle U_{i}} האלה מכסים את X i {\displaystyle X_{i}} אז יש מספר סופי מהם שמכסה את X i {\displaystyle X_{i}} בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של { ∏ j ≠ i X j × U i } {\displaystyle \{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\}} שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו.
נניח בשלילה כי לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} הקבוצות מהכיסוי שמהצורה ∏ j ≠ i X j × U i {\displaystyle \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}} מקיימות כי ה U i {\displaystyle U_{i}} אינן מכסים את X i {\displaystyle X_{i}} ולכן קיים x i ∈ X i {\displaystyle x_{i}\in X_{i}} שאינו ב U i {\displaystyle U_{i}} הנ"ל.
טענה: ( x i ) {\displaystyle (x_{i})} אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!).
הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה ∏ j ≠ i X j × U i {\displaystyle \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}} שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה x i ∉ U i {\displaystyle x_{i}\not \in U_{i}} .
בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא F על מסנן של ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} אזי { P i ( A ) : A ∈ F } {\displaystyle \{P_{i}(A):A\in F\}} הוא על מסנן של X i {\displaystyle X_{i}} (כאשר P i {\displaystyle P_{i}} היא ההטלה על רכיב i).
ולכן קיים לו גבול שנסמו a i {\displaystyle a_{i}} .
כעת, נראה כי ( a i ) ∈ ∏ i ∈ I X i {\displaystyle (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}} הוא גבול של F וסיימנו.
אכן כל סביבה של ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} מכילה קבוצה פתוחה בסיסית ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j {\displaystyle \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}} עבור J קבוצה סופית.
ולכן לכל j ∈ J {\displaystyle j\in J} קיימת A j ∈ F {\displaystyle A_{j}\in F} כך ש P j ( A j ) ⊆ U j {\displaystyle P_{j}(A_{j})\subseteq U_{j}} ואז A = ∩ j ∈ J A j ∈ F {\displaystyle A=\cap _{j\in J}A_{j}\in F} (חיתוך סופי) מקיימת A ⊆ ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j {\displaystyle A\subseteq \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}} .
הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי F {\displaystyle {\mathcal {F}}} אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק.
נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק.
לפי הלמה של צורן קיימת H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} לא ריק ומ"ל כי החיתוך ∩ H ∈ H H ¯ ≠ ∅ {\displaystyle \cap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}\neq \emptyset } .
כיוון ש H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מקס' אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} גם הוא ב H {\displaystyle {\mathcal {H}}} (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ).
ומכאן שכל קבוצה A שנחתכת עם כל איבר ב H {\displaystyle {\mathcal {H}}} גם היא ב H {\displaystyle {\mathcal {H}}} (אחרת נוכל להוסיף אותה ל H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ).
כעת, לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} הקבוצה { P i ( H ) : H ∈ H } {\displaystyle \{P_{i}(H):H\in {\mathcal {H}}\}} מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור { P i ( H ) ¯ : H ∈ H } {\displaystyle \{{\overline {P_{i}(H)}}:H\in {\mathcal {H}}\}} ולכן בגלל קומפקטיות של X i {\displaystyle X_{i}} קיים a i ∈ ∩ H ∈ H P i ( H ) ¯ {\displaystyle a_{i}\in \cap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {P_{i}(H)}}} .
נסיים בכך שנראה ש ( a i ) ∈ ∏ i ∈ I X i {\displaystyle (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}} נמצא ב ∩ H ∈ H H ¯ {\displaystyle \cap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}} .
לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית O = ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j = ∩ j ∈ J P j − 1 ( U j ) {\displaystyle O=\prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}=\cap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})} (עבור J קבוצה סופית) של ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} ויהא j ∈ J {\displaystyle j\in J} ו H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} .
אזי מתקיים כי U j ∩ P j ( H ) ≠ ∅ {\displaystyle U_{j}\cap P_{j}(H)\neq \emptyset } (בגלל ש a j ∈ P j ( H ) ¯ {\displaystyle a_{j}\in {\overline {P_{j}(H)}}} ו a j ∈ U j {\displaystyle a_{j}\in U_{j}} סביבה פתוחה שלה ב X j {\displaystyle X_{j}} ) ולכן P j − 1 ( U j ) ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset } .
לכן לכל H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} מתקיים כי P j − 1 ( U j ) ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset } ולכן P j − 1 ( U j ) ∈ H {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}} (בגלל מקס' של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ).
ומכאן נקבל כי O = ∩ j ∈ J P j − 1 ( U j ) ∈ H {\displaystyle O=\cap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}} (בגלל מקס' של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת H {\displaystyle {\mathcal {H}}} נקבל כי לכל H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} מתקיים O ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle O\cap H\neq \emptyset } מה שאומר כי ( a i ) ∈ H ¯ {\displaystyle (a_{i})\in {\overline {H}}} ולכן גם בחיתוך של כולם ( a i ) ∈ ∩ H ∈ H H ¯ {\displaystyle (a_{i})\in \cap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}} .
משפט אלכסנדר לתת בסיסיםיהא X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי עם תת בסיס B {\displaystyle B} .
אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ- B {\displaystyle B} יש תת-כיסוי סופי, אז X {\displaystyle X} קומפקטי.
הוכחה: נניח בשלילה כי X {\displaystyle X} אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי.
לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה) C {\displaystyle C} שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ C {\displaystyle C} הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות.
כלומר לכל קבוצה פתוחה V {\displaystyle V} שלא נמצאת ב C {\displaystyle C} מתקיים כי לכיסוי C ∪ { V } {\displaystyle C\cup \{V\}} יש תת-כיסוי סופי.
מהגדרת C {\displaystyle C} ולפי הנחת המשפט מתקיים כי C ∩ B {\displaystyle C\cap B} אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת C {\displaystyle C} ) לכן קיים x ∈ X {\displaystyle x\in X} שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות C ∩ B {\displaystyle C\cap B} .
כיוון ש C {\displaystyle C} כיסוי קיימת קבוצה בסיסית U = ∩ i = 1 n O i ∈ C {\displaystyle U=\cap _{i=1}^{n}O_{i}\in C} (כאשר O i ∈ B {\displaystyle O_{i}\in B} ) כך ש x ∈ U {\displaystyle x\in U} .
כיוון שאף קבוצה ב B ∩ C {\displaystyle B\cap C} אינה מכסה את x {\displaystyle x} נקבל כי O i ∉ C {\displaystyle O_{i}\not \in C} לכל i {\displaystyle i} .
מהמקסימליות של C {\displaystyle C} נקבל כי לכיסוי C ∪ { O i } {\displaystyle C\cup \{O_{i}\}} יש תת-כיסוי סופי.
נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה O i {\displaystyle O_{i}} ב C i {\displaystyle C_{i}} , נגדיר C F = ∪ i = 1 n C i {\displaystyle C_{F}=\cup _{i=1}^{n}C_{i}} ונקבל כי C F ∪ { O i } {\displaystyle C_{F}\cup \{O_{i}\}} הוא כיסוי סופי לכל i {\displaystyle i} ולכן גם C F ∪ { ∩ i = 1 n O i } {\displaystyle C_{F}\cup \{\cap _{i=1}^{n}O_{i}\}} כיסוי סופי.
אבל כיסוי סופי זה מוכל ב C {\displaystyle C} ולכן הוא תת-כיסוי סופי של C {\displaystyle C} בסתירה להגדרה C {\displaystyle C} .
טופולוגיה קבוצתיתמושגי יסודמרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזםבתוך המרחבקבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושיתכונות של מרחבים טופולוגייםאקסיומות ההפרדהT0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.
5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.
5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזביליאקסיומות המנייהС1 • ‏ С2 • מרחב ספרביליקומפקטיותקבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטיתכונות נוספותמרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני ק בניותמרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה •קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמהמשפטיםהלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של ביירדוגמאותקבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלישונותטופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוינושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטריתנושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידהאוחזר מתוך "https://he.
wikipedia.
org/w/index.
php?title=משפט_טיכונוף&oldid=24110786"קטגוריות: משפטים בטופולוגיהקומפקטיותאקסיומת הבחירה
נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשפט טיכונוף:
•משפטים בטופולוגיה
•קומפקטיות
•אקסיומת הבחירה