כל מה שרצית לדעת על נוסחאות ויאטה:
באלגברה, נוסחאות ויאטה, הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות פשוטות שמקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים.
עבור פולינום מהצורה   p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}} , עם שורשים   x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} , כולל שורשים כפולים, מתקיים: { x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + .
.
.
+ x 1 x 2 x n ) + ( x 1 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 5 + .
.
.
+ x 1 x 3 x n ) + .
.
.
+ ( x 2 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 5 + .
.
.
+ x 2 x n − 1 x n ) + .
.
.
.
.
+ x n − 2 x n − 1 x n = − a n − 3 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n .
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+.
.
.
+x_{1}x_{2}x_{n})+(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{5}+.
.
.
+x_{1}x_{3}x_{n})+.
.
.
+(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{5}+.
.
.
+x_{2}x_{n-1}x_{n})+.
.
.
.
.
+x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}{}\quad \\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.
\end{cases}}} הנוסחה לכל אחד ואחד היא: ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum \limits _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}^{n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} לדוגמה, מתקיים:   ∑ j = 1 n x j = − a n − 1 a n , ∏ j = 1 n x j = ( − 1 ) n a 0 a n {\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a_{n}}}} בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה   p ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle \ p(x)=ax^{2}+bx+c} , מתקיים:   − b a = x 1 + x 2   ;   c a = x 1 ⋅ x 2 {\displaystyle \ -{\frac {b}{a}}=x_{1}+x_{2}\ ;\ {\frac {c}{a}}=x_{1}\cdot x_{2}} מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:   ∑ j = 1 n x j = t r ( A ) , ∏ j = 1 n x j = det ( A ) {\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\mathrm {tr} (A)\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\det(A)} כאשר A היא המטריצה ו-xj הם הערכים העצמיים שלה.
זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לנוסחאות ויאטה:
•אלגברה בסיסית
•משפטים באלגברה