כל מה שרצית לדעת על פונקציית זטא של רימן:
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת הקרויה על שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן, ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים, בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים.
לפונקציה שימושים גם בפיזיקה, בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה.
באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן, שהיא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.
הראשון לחקור את הפונקציה היה לאונרד אוילר במאה ה-18.
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי .
לטור דיריכלה זה קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט בנקודה .
פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא.
ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל.
כך למשל ו-.
באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן: ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מצורת 2n- כאשר n טבעי, נמצאים על הישר .
השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.
הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר: , כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.