כל מה שרצית לדעת על שדה המספרים הניתנים לבנייה:
שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.
אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה).
הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.
לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 ו- 1, ואת שני המעגלים שרדיוסם 1, ומרכזיהם 0 ו- 1.
חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות .
כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.
לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים.
הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך .
מזה נובע ש-S (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור.
בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש-S סגור גם לכפל וחילוק.
תכונה חשובה של השדה S היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-S שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות).
למעשה, S הוא תת-השדה הקטן ביותר של הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים.
מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהיפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של S הוא חזקת-2.
ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל-S, ולכן אינו ניתן לבנייה.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לשדה המספרים הניתנים לבנייה:
•מבנים אלגבריים יחידאים
•בנייה בסרגל ובמחוגה