כל מה שרצית לדעת על תורת החוגים:
תורת החוגים היא ענף של האלגברה המופשטת העוסק בחקר חוגים – מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המכלילות דוגמאות יסודיות כמו חוג המספרים השלמים וחוג המטריצות מעל שדה.
באמצעות הכללה זו, משפטים מהאריתמטיקה מורחבים לעצמים שאינם מספרים, כגון פולינומים, מטריצות ופונקציות.
תורת החוגים עוסקת במבנה של חוגים, באידאלים והמודולים שלהם, במחלקות מיוחדות של חוגים (כגון חוגי חבורה וחוג עם חילוק), ובשלל תכונות של חוגים, מהן המעוררות עניין במסגרת תורת החוגים עצמה, ומהם הרלוונטיות ליישומי תורת החוגים.
גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית, המכילות דוגמאות רבות לחוגים חילופיים (קומוטטיביים), הניעו חלק נכבד מחקר החוגים החילופיים, הידוע כעת כאלגברה קומוטטיבית.
כיוון ששלושה ענפים אלה כל כך קשורים זה בזה, קשה לפעמים לשייך תוצאה מסוימת דווקא לאחד מהם.
משפט האפסים של הילברט, למשל, הוא משפט יסודי בגאומטריה אלגברית, אך הוכחתו נעשית בכלים של אלגברה קומוטטיבית.
דוגמה נוספת היא המשפט האחרון של פרמה, שמנוסח במונחים של אריתמטיקה אלמנטרית, שהיא חלק מהאלגברה הקומוטטיבית, והוכחתו כוללת תוצאות עמוקות מתורת המספרים האלגברית וגאומטריה אלגברית.
חוגים לא חילופיים הם בעלי אופי שונה.
המגמה הנוכחית בחקירתם החלה בשנות ה-80, עם פיתוחה של גאומטריה לא קומוטטיבית ועם גילויין של חבורות קוונטיות, שהובילו להבנה טובה יותר של חוגים לא חילופיים, ובפרט חוגים נתריים לא חילופיים.