כל מה שרצית לדעת על תשתית (אלגברה):
באלגברה מופשטת ובפרט בתורת המודולים, התשתית (Socle) של מודול הוא סכום כל תתי המודולים הפשוטים שלו.
מודול פשוט למחצה הוא מודול השווה לתשתית שלו, וחוג פשוט למחצה הוא חוג פשוט למחצה כמודול מעל עצמו.
יהי M {\displaystyle M} מודול מעל חוג R {\displaystyle R} .
התשתית של M {\displaystyle M} , המסומנת s o c ( M ) {\displaystyle soc(M)} , היא סכום כל תתי המודולים הפשוטים של M {\displaystyle M} , כלומר s o c ( M ) = ∑ { N ≤ M : N s i m p l e } {\displaystyle soc(M)=\sum {\{N\leq M:N\quad simple\}}} .
בשקילות, ניתן לאמר שהוא שווה לחיתוך כל תתי המודולים הגדולים שלו.
לכל הומומורפיזם מודולים מתקיים f ( s o c ( M ) ) ⊆ s o c ( f ( M ) ) {\displaystyle f(soc(M))\subseteq soc(f(M))} .
כמו כן, מתקיים s o c ( s o c ( M ) ) = s o c ( M ) {\displaystyle soc(soc(M))=soc(M)} , והוא מונוטוני.
לאור תכונות אלו, מפתה להגדיר את ה s o c {\displaystyle soc} בתור אופרטור סגור (אנ'), אך מתקיים s o c ( M ) ⊆ M {\displaystyle soc(M)\subseteq M} ולא להפך.
המבנה של התשתית דיי נוח – ניתן להוכיח כי התשתית תמיד שווה לסכום ישר של משפחת תתי מודולים פשוטים של החוג.
במקרה של חוגים עם יחידה, התשתית היא אף סכום ישר סופי של תתי מודולים פשוטים.
כך למשל, מתקיים s o c ( M n ( F ) ) = M n ( F ) = ⨁ i = 1 n R i {\displaystyle soc(M_{n}(\mathbb {F} ))=M_{n}(\mathbb {F} )={\overset {n}{\underset {i=1}{\bigoplus }}}{R_{i}}} , כאשר R i {\displaystyle R_{i}} הוא תת-המודול הפשוט המכיל מטריצות בעלות ערכים לא (בהכרח) מתאפסים רק בשורה ה- i {\displaystyle i} .
תוצאה של המשפט הנ"ל היא שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (המכונה בסיס המל).
אם המודול ארטיני, התשתית היא תת-מודול גדול.
אוחזר מתוך "https://he.
wikipedia.
org/w/index.
php?title=תשתית_(אלגברה)&oldid=18148408"קטגוריה: תורת המודולים
נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לתשתית (אלגברה):
•תורת המודולים