כל מה שרצית לדעת על המשפט היסודי של האלגברה:
המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים (שמעלתו חיובית) יש שורש.
חרף שמו של המשפט, אין לו הוכחה 'אלגברית' (כזו שאינה מבוססת על השלמות של השדה הממשי), וגם אין לו תפקיד מרכזי במיוחד בפיתוח של האלגברה המודרנית.
המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום שורש, קל להוכיח שהפונקציה היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה.
הוכחה סטנדרטית שנייה באמצעות תורת גלואה, מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי.
הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.
מן המשפט נובע שאם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אז לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים במספרים המרוכבים.
הריבוי של שורש a לפולינום f שווה לחזקה הגדולה ביותר של המחלקת את .
בניסוח אחר, a הוא שורש מריבוי k אם הוא מאפס את הנגזרת אבל לא את (זוהי גרסה חזקה של המשפט הקטן של בזו).
הוכחת מסקנה זו פשוטה: אם הפולינום ממעלה חיובית n, אז יש לו שורש a ולפי המשפט הקטן של בזו אפשר לחלק אותו בפולינום .
מקבלים פולינום ממעלה n-1, שאם אינו ממעלה 0, גם לו יש שורש שהוא גם שורש של הפולינום המקורי.
חוזרים על התהליך n פעמים ומקבלים n שורשים.
מהמסקנה האחרונה נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מתפרק לגורמים לינאריים.
הפולינום: , ניתן להצגה בתור: כאשר הם שורשיו של הפולינום p.
מסקנה נוספת מן המשפט הוא שכל פולינום בעל מקדמים ממשיים מתפרק למכפלת פולינום עם גורמים ממשיים שמעלת כל גורם היא 1 או 2.
זאת מכיוון שניתן לפרק את הפולינום לגורמים לינאריים מעל המרוכבים, ואז לנצל את העובדה שאם מספר מרוכב הוא שורש של פולינום ממשי כך גם הצמוד שלו.
הכפלת הזוגות של הגורמים הלינאריים המתאימים לשורשים צמודים תתן פולינום בעל מקדמים ממשיים ממעלה 2.
מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו).
זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום יש שורש.