משפט החיתוך של קנטור

כל מה שרצית לדעת על משפט החיתוך של קנטור:
המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק.
קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה של מספרים ממשיים, מכילה נקודה מבודדת.
זאת כי אם A = { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},\dots \right\}} קבוצה כזאת, באינדוקציה ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים I 1 ⊇ I 2 ⊇ … {\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \dots } , כך שהקטע I n {\displaystyle I_{n}} נחתך עם A {\displaystyle A} אך לא מכיל את הנקודה a n {\displaystyle a_{n}} .
ממשפט החיתוך של קנטור עבור I 1 ∩ A ⊇ I 2 ∩ A ⊇ … {\displaystyle I_{1}\cap A\supseteq I_{2}\cap A\supseteq \dots } יש נקודה של A {\displaystyle A} בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשפט החיתוך של קנטור:
•מרחבים מטריים
•משפטים בטופולוגיה