משפט לורות

כל מה שרצית לדעת על משפט לורות:
בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יעקב לורות(אנ'), קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1.
לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.
יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה ותהי F ( x ) {\displaystyle \mathbb {F} (x)} שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1.
אזי כל שדה ביניים ממש F ⊂ K ⊆ F ( x ) {\displaystyle \mathbb {F} \subset K\subseteq \mathbb {F} (x)} מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) – קיימת פונקציה רציונלית p ( x ) q ( x ) {\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}} כך ש- K = F ( p ( x ) q ( x ) ) {\displaystyle K=\mathbb {F} \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)} .
ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס.
הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.
טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne (אנ'): אם F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה סגור אלגברית ו- F ( x , y ) {\displaystyle \mathbb {F} (x,y)} מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים K {\displaystyle K} , אז K {\displaystyle K} הרחבה טרנסצנדנטית מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } .
הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למשפט לורות:
•תורת השדות
•משפטים באלגברה