כל מה שרצית לדעת על משפט נגטה-היגמן:
באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) A מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית.
במלים אחרותלכל n קיים קבוע c ( n ) {\displaystyle \ c(n)} כך שאם- a n = 0 {\displaystyle \ a^{n}=0} לכל a ∈ A {\displaystyle \ a\in A} , אז לכל a 1 , … , a c ( n ) ∈ A {\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{c(n)}\in A} , המכפלה a 1 ⋯ a c ( n ) {\displaystyle \ a_{1}\cdots a_{c(n)}} שווה לאפס.
הקבוע c ( n ) {\displaystyle \ c(n)} נמצא בטווח n ( n + 1 ) 2 ≤ c ( n ) ≤ n 2 {\displaystyle \ {\frac {n(n+1)}{2}}\leq c(n)\leq n^{2}} , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.
המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-n, אבל במקרה הכללי הוא נכון רק כאשר A נוצרת סופית.
למעשה מתקיים העידון הבא: לכל n ולכל d יש קבוע c d ( n ) {\displaystyle \ c_{d}(n)} כך שכל אלגברה עם d יוצרים, מעל שדה ממאפיין 0 < p ≤ n {\displaystyle 0<p\leq n} , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה n לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה c d ( n ) {\displaystyle \ c_{d}(n)} לכל היותר.
גם כאן הערך המדויק של c d ( n ) {\displaystyle \ c_{d}(n)} אינו ידוע; ל-d קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה c d ( n ) = O ( e log ( n ) 2 ) {\displaystyle \ c_{d}(n)=O(e^{\log(n)^{2}})} , ואם מגבילים את המאפיין לטווח n 2 < p ≤ n {\displaystyle \ {\frac {n}{2}}<p\leq n} , ידוע גם חסם פולינומי ב-n.