-
אקסיומת הבחירה
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת הבחירה:אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר…
-
אקסיומת הקבוצה האינסופית
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת הקבוצה האינסופית:אקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף) היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית. לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה אינסופית, ובפרט, קיימת קבוצה כזו שכוללת את המספרים הטבעיים (על פי הבנייה של פרגה). נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות לאקסיומת הקבוצה האינסופית:•אקסיומות של תורת הקבוצות
-
קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)
כל מה שרצית לדעת על קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה):קונסטרוקטיביזם היא אסכולה בפילוסופיה של המתמטיקה הגורסת שיש צורך למצוא (או "לבנות") אובייקט מתמטי על מנת להוכיח שהוא קיים. זאת בניגוד לתפיסה המודרנית במתמטיקה, שלפיה אפשר להסיק שהעצם קיים, גם מתוך כך שהנחת אי-קיומו מביאה לסתירה. לעתים נעשה שימוש במכונת טיורינג כדי להגדיר מהו "ניתן לבנייה". האסכולה…
-
עקביות (לוגיקה)
כל מה שרצית לדעת על עקביות (לוגיקה):במתמטיקה ובלוגיקה, עקביות (או קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) של מערכת מסוימת פירושה שמערכת זו היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא נובעת ממנה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה ראויה.כדי להוכיח…
-
מספר הרטוגס
כל מה שרצית לדעת על מספר הרטוגס:במתמטיקה, ובפרט, בתורת הקבוצות האקסיומטית, מספר הרטוגס הוא סוג מסוים של מספר מונה (קרדינלי). פרידריך הרטוגס הוכיח ב-1915 שניתן, באמצעות אקסיומות צרמלו-פרנקל בלבד (כלומר, ללא אקסיומת הבחירה) להראות כי לכל X קיים מונה סדור היטב שאינו קטן יותר מעוצמה של X.אין זה הכרחי שקבוצה מסוימת תהיה סדורה היטב על…
-
משפט טרסקי
כל מה שרצית לדעת על משפט טרסקי:בתורת הקבוצות האקסיומטית, משפט טַרְסְקִי, אותו הוכיח אלפרד טרסקי, מציג טענה השקולה לאקסיומת הבחירה: טרסקי הוכיח שאם מניחים רק את מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אז אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית A {\displaystyle A} , עוצמתה של המכפלה הקרטזית A × A {\displaystyle \ A\times A}…
-
משפט טיכונוף
כל מה שרצית לדעת על משפט טיכונוף:בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \ \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר…
-
עקרון המקסימום של האוסדורף
כל מה שרצית לדעת על עקרון המקסימום של האוסדורף:במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות…
-
משפט הקומפקטיות
כל מה שרצית לדעת על משפט הקומפקטיות:משפט הקומפקטיות הוא משפט מרכזי בלוגיקה המתמטית, המאפשר לטפל במערכות אינסופיות של אקסיומות על ידי הבנת חלקים סופיים שלהן.כמשפטים רבים אחרים מלוגיקה, קיימות למשפט זה שתי גרסאות: בתחשיב הפסוקים, ובלוגיקה מסדר ראשון.בתחשיב הפסוקים המשפט קובע כי לאוסף פסוקים יש מודל אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית שלו יש מודל…
-
לוגיקה מתמטית
כל מה שרצית לדעת על לוגיקה מתמטית:לוגיקה מתמטית הוא תחום במתמטיקה, העוסק במערכות פורמליות ובדרך בה הן מגלמות מושגים אינטואיטיביים, כגון הוכחה או חישוביות. התחום הוא אחד מקבוצה של תחומים המכונים יסודות המתמטיקה משום שהם עוסקים בבסיס הפורמלי של המתמטיקה כולה. לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של הלוגיקה שניתן ליצור להם מודל מתמטי. בעבר נקרא…