-
מידת רדון
כל מה שרצית לדעת על מידת רדון:הגדרה: יהי מרחב טופולוגי ותהי סיגמא אלגברת בורל (כלומר, זו הנוצרת על ידי הטופולוגיה). מידה (חיובית) על נקראת מידת רדון, אם מתקיימים שני התנאים הבאים: סופיות מקומית: לכל קבוצה קומפקטית מתקיים . רגולריות: לכל קבוצה מדידה מתקיימת הן רגולריות חיצונית הן רגולריות פנימית, כלומר: ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה.…
-
מחלקה מונוטונית
כל מה שרצית לדעת על מחלקה מונוטונית:מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למחלקה מונוטונית:•תורת ההסתברות•תורת המידה•משפחות של תת-קבוצות
-
העקרונות של ליטלווד
כל מה שרצית לדעת על העקרונות של ליטלווד:העקרונות של ליטלווד הם שלושה כללים היוריסטיים באנליזה מתמטית ממשית, המדגימים את חשיבותה של תורת המידה. העקרונות מופיעים בספרו של ג'ון ליטלווד, "הרצאות על התאוריה של פונקציות", משנת 1944: ישנם שלושה עקרונות שניתן לבטא באופן הבא: כל קבוצה מדידה היא כמעט איחוד סופי של קטעים; כל פונקציה מדידה…
-
אלגברה של קבוצות
כל מה שרצית לדעת על אלגברה של קבוצות:דוגמה. אוסף כל האיחודים הסופיים של קטעים ממשיים מהצורה הוא אלגברה מעל . הזוג הסדור נקרא שדה קבוצות מעל . סיגמא-אלגברה היא סוג מיוחד של אלגברה, המקיימת סגירות ללקיחת משלים ולאיחוד של מספר בן מנייה של תת-קבוצות. אם היא סיגמא-אלגברה מעל X, הזוג הסדור נקרא מרחב מדיד (להבדיל…
-
אינטגרל לבג
כל מה שרצית לדעת על אינטגרל לבג:אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו בתורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי. לכל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן. באינטגרל לבג מחושב…
-
פונקציית קנטור
כל מה שרצית לדעת על פונקציית קנטור:פונקציית קנטור הידועה גם כמדרגות השטן היא פונקציה רציפה לא יורדת שמטפסת מ-0 ל-1 למרות שהנגזרת שלה מתאפסת כמעט בכל מקום. בזכות תכונותיה הייחודיות פונקציית קנטור שימושית בהקשרים רבים, ובפרט כדוגמה נגדית לטענות רבות באנליזה ממשית. הפונקציה נקראת על שמו של גאורג קנטור שהיה הראשון שחקר אותה. נלקח מויקיפדיה…
-
מידת לבג
כל מה שרצית לדעת על מידת לבג:מידת לבג היא פונקציית מידה על שדה המספרים הממשיים שמהווה הכללה של מושג האורך (אפשר להכליל מידת לבג של נפח על המרחב ). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא האינטגרל. הערה: כדי להבין מאמר זה יש להכיר את מושג המידה, עליו אפשר לקרוא במאמר…
-
כדור (טופולוגיה)
כל מה שרצית לדעת על כדור (טופולוגיה):כדור פתוח של מחוג r > 0 אשר מרכזו בנקודה p נכתב לרוב כ-. דבר זה מוגדר כ: כאשר d הוא פונקציית המרחק (מטריקה). ב-Rn, פונקציית המרחק האוקלידית הרגילה נתונה על ידי: . יש לשים לב שכדור פתוח תמיד מכיל את p וזאת כיוון ש r > 0. כדורים…
-
הפרדוקס של בנך-טרסקי
כל מה שרצית לדעת על הפרדוקס של בנך-טרסקי:הפרדוקס של בנך-טרסקי (Banach-Tarski Paradox) הוא משפט מתמטי, הקובע שאפשר לחלק כדור למספר סופי של נתחים זרים באופן כזה שאחרי הזזה וסיבוב של הנתחים, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי. המשפט מסתמך במידה רבה על עבודה קודמת של האוסדורף, ויש המכנים אותו "פרדוקס…
-
ממד האוסדורף
כל מה שרצית לדעת על ממד האוסדורף:ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי. הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף. רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על ידי המתמטיקאי הקראי-רוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעתים רחוקות יותר הוא קרוי ממד…