-
תחום בזו
כל מה שרצית לדעת על תחום בזו:בתורת החוגים, תחום בֶּזוּ הוא תחום שלמות שהוא חוג בזו, כלומר, כל אידיאל נוצר סופית שלו הוא אידיאל ראשי. תחום שלמות הוא חוג ראשי אם ורק אם הוא חוג בזו נתרי. החוגים נקראים כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי Étienne Bézout (1730-1783).את ההגדרה אפשר לנסח גם כך: תחום שלמות הוא חוג…
-
אלגברה ספרבילית
כל מה שרצית לדעת על אלגברה ספרבילית:בתורת החוגים, אלגברה ספרבילית היא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי, הפועלת על עצמה באופן מסוים (שיוגדר בגוף הערך). זוהי הכללה של מושג הספרביליות של הרחבת שדות: הרחבת השדות K/F היא ספרבילית, אם ורק אם K אלגברה ספרבילית מעל F.יהי C חוג קומוטטיבי, ותהי R אלגברה מעל C (כלומר, חוג המכיל…
-
חוג עם זהויות
כל מה שרצית לדעת על חוג עם זהויות:בתורת החוגים, חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI – Polynomial Identity) הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג. לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם…
-
המשפט הקטן של ודרברן
כל מה שרצית לדעת על המשפט הקטן של ודרברן:בתורת החוגים, המשפט הקטן של ודרברן הוא משפט הקובע שכל תחום (חוג עם יחידה שאין בו מחלקי אפס) סופי, ובפרט כל חוג עם חילוק סופי, הוא שדה.הוכחה ראשונה למשפט ניתנה על ידי ג'וזף ודרברן ב-1905, אולם היה פער בהוכחתו. דיקסון פרסם הוכחה מלאה של המשפט זמן קצר…
-
מודול פשוט
כל מה שרצית לדעת על מודול פשוט:באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג R הוא מודול M שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-M עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול…
-
חוג האנדומורפיזמים
כל מה שרצית לדעת על חוג האנדומורפיזמים:בתורת החוגים, חוג האנדומורפיזמים של חבורה אבלית או מודול M הוא החוג הכולל את כל האנדומורפיזמים של המודול, כלומר, את כל ההעתקות f : M → M {\displaystyle f:M\rightarrow M} השומרות על מבנה המודול. תפקידו של חוג האנדומורפיזמים בתורת החוגים מקביל לזה של חבורת האוטומורפיזמים בתורת החבורות – האנדומורפיזמים…
-
חוג פרימיטיבי
כל מה שרצית לדעת על חוג פרימיטיבי:בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי הוא חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן. כתוצאה מכך, החוגים הפרימיטיביים הם תת-החוגים הצפופים בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק.החוגים הפרימיטיביים הם אחת המחלקות המרכזיות בתורת החוגים הלא-קומוטטיביים, והיא כוללת את כל החוגים הפשוטים. מאידך, כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. בין החוגים…
-
חוג ראשוני
כל מה שרצית לדעת על חוג ראשוני:בתורת החוגים, חוג ראשוני הוא חוג שבו המכפלה של כל שני אידיאלים שונים מאפס, שונה מאפס. מחלקת החוגים הראשוניים היא בעלת תפקיד מרכזי בתורת החוגים, משום שהיא רחבה מאד, ואפשר להיעזר בה, דרך מנות ביחס לאידיאלים ראשוניים ומכפלות תת-ישרות, כדי לנתח חוגים כלליים.בחוג ראשוני כל שני אידיאלים שונים מאפס…
-
אלגברת קיילי
כל מה שרצית לדעת על אלגברת קיילי:במתמטיקה, אלגברת קיילי היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8. אלגבראות קיילי מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות ליניאריות מטיפוס G2. הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים…
-
חוג פשוט
כל מה שרצית לדעת על חוג פשוט:בתורת החוגים, חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידיאלים לא טריוויאליים. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים הארטיניים הם, לפי משפט ודרברן-ארטין, אלגברות מטריצות מעל חוגים עם חילוק. המבנה של חוגים פשוטים…